一、离散时间系统 #
1. 核心定义与示意图 #
离散时间系统是对输入序列进行处理，输出新序列的运算单元（广义上可理解为"数字滤波器"），数学表示为：
$$y[n] = T[x[n]]$$
其中：
- $x[n]$：输入序列；
- $T[\cdot]$：系统的运算规则；
- $y[n]$：输出序列。
系统示意图：
$$x[n] \Rightarrow \boxed{T[\cdot]} \Rightarrow y[n]$$
2. 典型离散时间系统举例 #
（1）累加器 #
- 功能：对输入序列从负无穷到当前时刻$n$进行累加，输出累积结果。
- 数学表达式：
$$y[n] = \sum_{l=-\infty}^{n} x[l] = y[n-1] + x[n]$$
若为因果累加器（仅从$l=0$开始累加），需考虑初始条件$y[-1]$：
$$y[n] = y[-1] + \sum_{l=0}^{n} x[l] \quad (n \geq 0)$$ - 关键参数：$y[-1]$为初始条件（累加前的初始值），非零初始条件会使系统变为非线性。
（2）M点滑动平均滤波器 #
- 功能：对输入序列的当前及前$M-1$个样本取平均，实现信号平滑（滤除高频噪声）。
- 数学表达式：
- 非递归形式（直接求和平均）：
$$y[n] = \frac{1}{M} \sum_{k=0}^{M-1} x[n-k]$$ - 递归形式（减少计算量，复用前一时刻输出）：
$$y[n] = y[n-1] + \frac{1}{M}\left(x[n] - x[n-M]\right)$$
- 非递归形式（直接求和平均）：
- Q&A解答：
- 计算量：非递归形式需$M$次加法+1次除法，递归形式仅需2次加减法+1次除法，计算量显著降低；
- 存储量：非递归形式需存储$M$个历史输入，递归形式仅需存储$y[n-1]$和$x[n-M]$，存储量减少；
- 单位脉冲响应：$h[n] = \frac{1}{M}\left(\mu[n] - \mu[n-M]\right)$（长度为$M$的矩形序列）；
- 频率响应：后续频域分析章节讲解（低通特性，主瓣宽度与$M$成反比）。
- 应用场景：
- 股票5日/10日均线计算；
- 智能手表心跳、运动数据平滑（消除尖峰假信号）；
- 延时特性：输出比输入延时$\frac{M-1}{2}$个样本（因平均窗口覆盖当前及前$M-1$个样本，输出对应窗口中心时刻）。
- 滤波器类型：FIR低通滤波器。
（3）指数加权滑动平均滤波器 #
- 功能：对输入序列进行加权平均，权重随时间呈指数衰减（近期输入权重更大），实现动态平滑。
- 数学表达式（递归形式）：
$$y[n] = \alpha y[n-1] + x[n] \quad (0 < \alpha < 1)$$
展开后可见权重衰减特性：
$$y[n] = \alpha^k y[n-k] + \sum_{i=0}^{k-1} \alpha^i x[n-i]$$
（$k$越大，历史输入$x[n-i]$的权重$\alpha^i$越小） - 应用场景：手环PPG（光电容积脉搏波）、IMU（惯性测量单元）数据平滑，温度曲线去抖。
（4）线性内插 #
- 功能：上采样后在零值样本间补充连续值，恢复信号的连续特性（提升采样率后的插值处理）。
- 数学表达式：
- 内插因子为2（上采样2倍后插值）：
$$y[n] = x_u[n] + \frac{1}{2}\left(x_u[n-1] + x_u[n+1]\right)$$ - 内插因子为3（上采样3倍后插值）：
$$y[n] = x_u[n] + \frac{1}{3}\left(x_u[n-1] + x_u[n+2]\right) + \frac{2}{3}\left(x_u[n-2] + x_u[n+1]\right)$$
其中$x\_u[n]$为上采样后的序列（原样本位置保留，其余位置补0）。
- 内插因子为2（上采样2倍后插值）：
- 应用场景：图像缩放（如双线性内插放大图像，对比"最近邻插值"的锯齿边缘，内插后图像更平滑）。
（5）中值滤波器 #
-
功能：滑动奇数长度窗口，输出窗口内样本的中值，重点消除随机突发噪声（如脉冲噪声、椒盐噪声）。
-
数学表达式：
$$y[n] = \text{med}\{x[n-K],\dots,x[n-1],x[n],\dots,x[n+K]\}$$
（窗口长度为$2K+1$，$\text{med}[\cdot]$表示取中值操作；处理有限长序列时，需在两端各补$\frac{M-1}{2}$个零，$M=2K+1$为窗口长度） -
应用场景：
- 语音信号中"有声-无声"过渡段的噪声去除；
- 事件相机信号去噪（消除车体震动产生的假事件）；
-
MATLAB实现示例：
N = input('Median Filter Length = '); % 输入窗口长度（奇数） R = 50; a = rand(1,R)-0.4; b = round(a); % 生成脉冲噪声 m = 0:R-1; s = 2*m.*(0.9.^m); % 生成原始信号 x = s + b; % 叠加噪声的输入信号 y = medfilt1(x,N); % 中值滤波 % 绘图（输入含噪信号与输出滤波信号对比） subplot(2,1,1); stem(m,x); title('Impulse Noise Corrupted Signal'); subplot(2,1,2); stem(m,y); title('Output of Median Filter');
二、离散时间系统的分类 #
1. 按脉冲响应长度分类 #
| 类别 | 定义（脉冲响应$h[n]$） | 实现方式 | 典型例子 |
|---|---|---|---|
| FIR系统 | 有限长（仅在$N\_1 \leq n \leq N\_2$非零） | 非递归/递归 | M点滑动平均滤波器、一次差分滤波器 |
| IIR系统 | 无限长（$n \in (-\infty,+\infty)$可能非零） | 递归（主流） | 指数加权滑动平均滤波器 |
补充示例：
- 一阶FIR低通：$y[n] = \frac{1}{M}\sum\_{k=0}^{M-1}x[n-k]$；
- 一阶IIR低通：$y[n] = \alpha y[n-1] + (1-\alpha)x[n]$（$0<\alpha<1$）；
- 一次差分FIR（边缘检测）：$y[n] = x[n] - x[n-1]$。
2. 按输出计算方式分类 #
| 类别 | 定义 | 特点 |
|---|---|---|
| 非递归系统 | 输出仅依赖"过去+现在的输入"，无反馈 | 易实现，稳定性好（如FIR系统） |
| 递归系统 | 输出依赖"过去+现在的输入+过去的输出"，含反馈 | 计算量小，可能引入不稳定性（如IIR系统） |
注意：FIR/IIR与递归/非递归无绝对绑定——FIR可递归实现（如滑动平均的递归形式），IIR也可非递归实现（但计算量极大，极少用）。
3. 按脉冲响应系数分类 #
| 类别 | 定义（脉冲响应$h[n]$） | 应用场景 |
|---|---|---|
| 实离散时间系统 | $h[n]$为实数 | 绝大多数实际场景（音频、图像、生理信号） |
| 复离散时间系统 | $h[n]$为复数 | 通信系统（如正交调制解调）、雷达信号处理 |
4. LTI系统的关键特性分类（核心） #
LTI系统（Linear Time-Invariant，线性时不变系统）是DSP的核心研究对象，需同时满足线性性和时不变性，在此基础上进一步分类为因果/非因果、稳定/不稳定、无源/无损系统。
（1）线性系统 #
- 定义：满足"叠加性"和"齐次性"，即对任意输入$x\_1[n]$、$x\_2[n]$和常数$a$、$b$，有：
$$T\left[a x_1[n] + b x_2[n]\right] = a T\left[x_1[n]\right] + b T\left[x_2[n]\right]$$ - 示例验证：累加器的线性性（零初始条件下）：
若输入$x[n] = a x\_1[n] + b x\_2[n]$，则输出：
$$y[n] = \sum_{l=-\infty}^n \left(a x_1[l] + b x_2[l]\right) = a \sum_{l=-\infty}^n x_1[l] + b \sum_{l=-\infty}^n x_2[l] = a y_1[n] + b y_2[n]$$
（非零初始条件下，$y[-1] \neq a y\_1[-1] + b y\_2[-1]$，系统非线性） - 线性系统举例：滑动平均滤波器、线性内插、上采样；
- 非线性系统举例：中值滤波器（取中值操作不满足叠加性）、非零初始条件的累加器。
（2）移不变系统（时不变系统） #
- 定义：输入序列时移$n\_0$，输出序列同步时移$n\_0$，即：
若$T[x[n]] = y[n]$，则$T[x[n - n\_0]] = y[n - n\_0]$。 - 物理意义：系统的输出特性与输入施加的时间无关（如今天输入$x[n]$和明天输入$x[n]$，输出仅差时间戳，波形一致）。
- 非移不变系统举例：上采样系统（验证如下）：
设输入$x\_1[n] = \\{\dots,x\_0,x\_1,x\_2,\dots\\}$，上采样2倍后输出$y\_1[n] = \\{\dots,x\_0,0,x\_1,0,x\_2,\dots\\}$；
输入时移1步：$x\_2[n] = x\_1[n-1] = \\{\dots,0,x\_0,x\_1,x\_2,\dots\\}$，上采样2倍后输出$y\_2[n] = \\{\dots,0,0,x\_0,0,x\_1,\dots\\}$；
而$y\_1[n-1] = \\{\dots,0,x\_0,0,x\_1,0,\dots\\} \neq y\_2[n]$，故上采样系统非移不变。
（3）因果系统 #
- 定义：$n\_0$时刻的输出仅依赖$n \leq n\_0$的输入和输出（不依赖未来输入），即：
$$y[n_0] \text{ 仅与 } x[n] (n \leq n_0) \text{ 和 } y[n] (n \leq n_0) \text{ 有关}$$ - 因果系统举例：累加器、滑动平均滤波器、指数加权滑动平均滤波器；
- 非因果系统举例：
- 超前系统：$y[n] = x[n+1]$（依赖未来输入$x[n+1]$）；
- 线性内插：$y[n] = x\_u[n] + \frac{1}{2}(x\_u[n-1] + x\_u[n+1])$（依赖未来输入$x\_u[n+1]$）；
- 对称滑动平均：$y[n] = \frac{1}{2M+1}\sum\_{k=-M}^M x[n-k]$（依赖未来输入$x[n+k]$，$k>0$）；
- 特殊说明：非因果系统并非无法实现——若信号非实时处理（如图像处理，自变量为空间坐标非时间；历史股票数据分析），可先存储完整信号再处理，因果性不再是约束。
（4）稳定系统（BIBO稳定） #
- 定义：输入有界（$|x[n]| \leq B\_x < \infty$）时，输出必为有界（$|y[n]| \leq B\_y < \infty$），即BIBO（Bounded-Input Bounded-Output）稳定。
- LTI系统BIBO稳定的充要条件：脉冲响应绝对可和，即：
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]| < \infty$$ - 示例验证：M点滑动平均滤波器的稳定性：
若$|x[n]| \leq B\_x$，则输出：
$$|y[n]| = \left| \frac{1}{M} \sum_{k=0}^{M-1} x[n-k] \right| \leq \frac{1}{M} \sum_{k=0}^{M-1} |x[n-k]| \leq \frac{1}{M} \cdot M B_x = B_x < \infty$$
故系统BIBO稳定。 - 稳定性判定示例：
- 因果LTI系统$h[n] = \alpha^n \mu[n]$：
绝对可和性：$\sum\_{n=0}^{\infty} |\alpha|^n = \frac{1}{1-|\alpha|}$（等比级数求和）；- 当$|\alpha| < 1$时，和为有限值，系统BIBO稳定；
- 当$|\alpha| \geq 1$时，和为无穷大，系统BIBO不稳定。
- FIR系统$h[n] = \alpha^n$（$N\_1 \leq n \leq N\_2$，其余为0）：
绝对可和性：$\sum\_{n=N\_1}^{N\_2} |\alpha|^n$（有限项求和），必为有限值，故所有FIR系统均BIBO稳定。
- 因果LTI系统$h[n] = \alpha^n \mu[n]$：
（5）无源/无损系统 #
- 无源系统：输入为能量信号时，输出能量不超过输入能量，即：
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} |y[n]|^2 \leq \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2 < \infty$$ - 无损系统：输入与输出能量相等（无源系统的特殊情况），即：
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} |y[n]|^2 = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2$$ - 示例：时移系统$y[n] = \alpha x[n-N]$（$N$为时移量）：
输出能量：$\sum\_{n=-\infty}^{\infty} |\alpha x[n-N]|^2 = |\alpha|^2 \sum\_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2$；- 当$|\alpha| \leq 1$时，为无源系统；
- 当$|\alpha| = 1$时，为无损系统。
三、LTI系统的两种核心描述方式 #
LTI系统的时域特性可通过单位脉冲响应或单位阶跃响应完全描述，两者可相互转换。
1. 单位脉冲响应（$h[n]$） #
- 定义：输入为单位采样序列$\delta[n]$时，系统的输出序列，即：
$$h[n] = T\left[\delta[n]\right]$$ - 物理意义：LTI系统对"单个脉冲输入"的响应，是系统时域特性的"指纹"。
- 计算示例：
- 线性组合系统$y[n] = \alpha\_1 x[n] + \alpha\_2 x[n-1] + \alpha\_3 x[n-2] + \alpha\_4 x[n-3]$：
输入$x[n] = \delta[n]$，则：
$$h[n] = \alpha_1 \delta[n] + \alpha_2 \delta[n-1] + \alpha_3 \delta[n-2] + \alpha_4 \delta[n-3]$$
（脉冲响应为长度4的有限序列：$\\{h[n]\\} = \\{\alpha\_1, \alpha\_2, \alpha\_3, \alpha\_4\\}$）； - 累加器$y[n] = \sum\_{l=-\infty}^n x[l]$：
输入$x[n] = \delta[n]$，则：
$$h[n] = \sum_{l=-\infty}^n \delta[l] = \mu[n]$$
（脉冲响应为单位阶跃序列，无限长）； - 2倍内插系统$y[n] = x\_u[n] + \frac{1}{2}(x\_u[n-1] + x\_u[n+1])$：
输入$x\_u[n] = \delta[n]$，则：
$$h[n] = \delta[n] + \frac{1}{2}(\delta[n-1] + \delta[n+1])$$
（脉冲响应为长度3的有限序列：$\\{h[n]\\} = \\{0.5, \underset{\uparrow}{1}, 0.5\\}$，$\uparrow$表示$n=0$位置）。
- 线性组合系统$y[n] = \alpha\_1 x[n] + \alpha\_2 x[n-1] + \alpha\_3 x[n-2] + \alpha\_4 x[n-3]$：
2. 单位阶跃响应（$s[n]$） #
- 定义：输入为单位阶跃序列$\mu[n]$时，系统的输出序列，即：
$$s[n] = T\left[\mu[n]\right]$$ - 与单位脉冲响应的关系：
- 阶跃响应是脉冲响应的累加：$s[n] = \sum\_{k=-\infty}^n h[k]$；
- 脉冲响应是阶跃响应的差分：$h[n] = s[n] - s[n-1]$。
四、LTI系统的时域分析（核心：卷积） #
1. 核心原理：输入分解与卷积推导 #
（1）信号分解基础 #
任意离散序列$x[n]$可分解为"单位采样序列的加权和"，即：
$$x[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \delta[n - k]$$
（$x[k]$为权重，$\delta[n - k]$为$k$时刻的单位脉冲，通过加权叠加重构$x[n]$）。
（2）LTI系统输出的卷积推导 #
基于线性性和时不变性，系统输出$y[n]$推导如下：
- 输入分解：$x[n] = \sum\_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \delta[n - k]$；
- 系统作用：$y[n] = T\left[x[n]\right] = T\left[\sum\_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \delta[n - k]\right]$；
- 线性性（齐次+叠加）：$y[n] = \sum\_{k=-\infty}^{\infty} x[k] T\left[\delta[n - k]\right]$；
- 时不变性（$T[\delta[n - k]] = h[n - k]$）：$y[n] = \sum\_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n - k]$。
最终，LTI系统的输出等于输入序列与脉冲响应的线性卷积，记为：
$$y[n] = x[n] * h[n]$$
2. 卷积的数学性质（含应用意义） #
| 性质 | 数学表达式 | 应用意义 |
|---|---|---|
| 交换律 | $x\_1[n] * x\_2[n] = x\_2[n] * x\_1[n]$ | 系统输入与脉冲响应可交换（如"输入$x[n]$通过系统$h[n]$“等价于"输入$h[n]$通过系统$x[n]$"） |
| 结合律 | $(x\_1[n] * x\_2[n]) * x\_3[n] = x\_1[n] * (x\_2[n] * x\_3[n])$ | 多系统级联时，总脉冲响应与级联顺序无关（可调整顺序简化计算） |
| 分配律 | $(x\_1[n] + x\_2[n]) * x\_3[n] = x\_1[n] * x\_3[n] + x\_2[n] * x\_3[n]$ | 多系统并联时，总脉冲响应等于各系统脉冲响应之和（简化并联系统设计） |
3. 线性卷积的计算方法 #
（1）通用步骤（适用于有限/无限长序列） #
给定$x[k]$（输入）和$h[k]$（脉冲响应），计算$y[n] = \sum\_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n - k]$，步骤如下：
- 折叠：将$h[k]$沿$k=0$翻转，得到$h[-k]$；
- 延时：将$h[-k]$沿$k$轴平移$n$步，得到$h[n - k]$（$n>0$右移，$n<0$左移）；
- 相乘：对应时刻的$x[k]$与$h[n - k]$相乘，得到乘积序列；
- 相加：将乘积序列的所有样本求和，得到$y[n]$的一个样本值；
- 遍历$n$：重复步骤2-4，遍历所有$n$，得到完整输出$y[n]$。
（2）列表法（仅适用于有限长序列） #
对于有限长序列$g[n]$（长度$N$，$0 \leq n \leq N-1$）和$h[n]$（长度$M$，$0 \leq n \leq M-1$），卷积结果$y[n]$长度为$N+M-1$，计算步骤如下：
- 按”$n$增大"方向，将$g[n]$的样本横向排列，$h[n]$的样本纵向排列；
- 横向与纵向样本两两相乘（无进位），得到乘积矩阵；
- 沿"对角线"方向求和，每个对角线的和即为$y[n]$的一个样本值。
列表法示例表格：
| $h[n] \setminus g[n]$ | $n=0$（$g[0]$） | $n=1$（$g[1]$） | $n=2$（$g[2]$） | $n=3$（$g[3]$） | … |
|---|---|---|---|---|---|
| $n=0$（$h[0]$） | $g[0]h[0]$ | $g[1]h[0]$ | $g[2]h[0]$ | $g[3]h[0]$ | … |
| $n=1$（$h[1]$） | $g[0]h[1]$ | $g[1]h[1]$ | $g[2]h[1]$ | $g[3]h[1]$ | … |
| $n=2$（$h[2]$） | $g[0]h[2]$ | $g[1]h[2]$ | $g[2]h[2]$ | $g[3]h[2]$ | … |
| … | … | … | … | … | … |
| $y[n]$ | $y[0]=g[0]h[0]$ | $y[1]=g[0]h[1]+g[1]h[0]$ | $y[2]=g[0]h[2]+g[1]h[1]+g[2]h[0]$ | $y[3]=g[1]h[2]+g[2]h[1]+g[3]h[0]$ | … |
4. 从脉冲响应看LTI系统的关键特性 #
（1）因果性与脉冲响应 #
- 充要条件：LTI系统因果 $\iff$ 脉冲响应$h[n] = 0$（$n < 0$）。
- 物理意义：因果系统的脉冲响应"无超前成分"（仅在$n \geq 0$时有非零值），符合"输出不依赖未来输入"的因果性定义。
（2）BIBO稳定性与脉冲响应 #
- 充要条件：LTI系统BIBO稳定 $\iff$ 脉冲响应绝对可和（$\sum\_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]| < \infty$），推导见"二、4（4）稳定系统"。
五、LTI系统的简单互联方案 #
LTI系统的互联主要有级联和并联两种形式，核心是通过互联简化复杂系统的设计与分析。
1. 级联（串联） #
- 定义：多个系统按顺序连接，前一个系统的输出作为后一个系统的输入。
- 总脉冲响应：设系统1脉冲响应为$h\_1[n]$，系统2为$h\_2[n]$，则级联总脉冲响应为两者的卷积：
$$h[n] = h_1[n] * h_2[n]$$ - 输出推导：
$$y[n] = \left(x[n] * h_1[n]\right) * h_2[n] = x[n] * \left(h_1[n] * h_2[n]\right)$$ - 关键特性：级联系统的总脉冲响应与系统顺序无关（由卷积结合律推导）。
- 频率响应提示：级联系统的总频率响应等于各系统频率响应的乘积（后续频域分析章节详解）。
2. 并联 #
- 定义：多个系统的输入相同，输出叠加后作为总输出。
- 总脉冲响应：并联总脉冲响应为各系统脉冲响应的和：
$$h[n] = h_1[n] + h_2[n]$$ - 输出推导：
$$y[n] = \left(x[n] * h_1[n]\right) + \left(x[n] * h_2[n]\right) = x[n] * \left(h_1[n] + h_2[n]\right)$$ - 频率响应提示：并联系统的总频率响应等于各系统频率响应的和（后续频域分析章节详解）。
六、有限维LTI离散时间系统（差分方程描述） #
有限维LTI系统可通过线性常系数差分方程（Linear Constant-Coefficient Difference Equation，LCCDE）描述，是实际工程中最常用的系统模型。
1. 差分方程的标准形式 #
- 通用形式：
$$\sum_{k=0}^{N} d_k y[n - k] = \sum_{k=0}^{M} p_k x[n - k]$$
其中：- $d\_k$（$k=0,\dots,N$）：输出端系数（$d\_0 \neq 0$，否则降阶）；
- $p\_k$（$k=0,\dots,M$）：输入端系数；
- $N$：输出端最高延时（系统阶数，通常取$\max(N,M)$）；
- 整理形式（解出$y[n]$）：
$$y[n] = -\sum_{k=1}^{N} \frac{d_k}{d_0} y[n - k] + \sum_{k=0}^{M} \frac{p_k}{d_0} x[n - k]$$
（右侧第一项为"反馈项"，依赖过去输出；第二项为"输入项"，依赖过去和现在输入）。
2. 差分方程的全解（齐次解+特解） #
系统输出$y[n]$的全解由齐次解（$y\_c[n]$）和特解（$y\_p[n]$）组成：
$$y[n] = y_c[n] + y_p[n]$$
（1）齐次解（$y\_c[n]$） #
- 定义：当输入$x[n] = 0$时，齐次方程$\sum\_{k=0}^{N} d\_k y[n - k] = 0$的解，反映系统的"固有响应"（与输入无关，由系统自身特性决定）。
- 求解步骤：
- 写出特征方程（将$y[n - k]$替换为$\lambda^{n - k}$，提取公因子$\lambda^{n - N}$）：
$$d_0 \lambda^N + d_1 \lambda^{N-1} + \dots + d_{N-1} \lambda + d_N = 0$$
（左侧多项式称为"特征多项式"）； - 求解特征方程的根$\lambda\_1, \lambda\_2, \dots, \lambda\_N$；
- 根据根的类型确定齐次解形式：
- 单根：$y\_c[n] = \alpha\_1 \lambda\_1^n + \alpha\_2 \lambda\_2^n + \dots + \alpha\_N \lambda\_N^n$（$\alpha\_i$为待定系数，由初始条件确定）；
- $L$重根（如$\lambda\_1$为$L$重根）：$y\_c[n] = \alpha\_1 \lambda\_1^n + \alpha\_2 n \lambda\_1^n + \dots + \alpha\_L n^{L-1} \lambda\_1^n + \alpha\_{L+1} \lambda\_2^n + \dots + \alpha\_N \lambda\_N^n$。
- 写出特征方程（将$y[n - k]$替换为$\lambda^{n - k}$，提取公因子$\lambda^{n - N}$）：
（2）特解（$y\_p[n]$） #
- 定义：当输入$x[n] \neq 0$时，满足原差分方程的一个任意解，反映系统的"强迫响应"（由输入信号决定）。
- 求解方法：根据输入$x[n]$的形式假设特解形式（如$x[n]$为常数，假设$y\_p[n] = C$；$x[n]$为$\alpha^n$，假设$y\_p[n] = C \alpha^n$），代入原方程求解待定系数$C$。
3. 零输入响应与零状态响应 #
全解也可分解为零输入响应（$y\_{zi}[n]$）和零状态响应（$y\_{zs}[n]$），更贴合工程中"初始状态"与"输入激励"的分离需求：
$$y[n] = y_{zi}[n] + y_{zs}[n]$$
| 响应类型 | 定义 | 求解依据 |
|---|---|---|
| 零输入响应$y\_{zi}[n]$ | 输入$x[n] = 0$，仅由非零初始状态（$n < 0$时的$y[n]$）引起的响应 | 齐次方程+非零初始条件 |
| 零状态响应$y\_{zs}[n]$ | 初始状态为零（$n < 0$时的$y[n] = 0$），仅由输入$x[n]$引起的响应 | 原差分方程+零初始条件（或卷积：$y\_{zs}[n] = x[n] * h[n]$） |
4. 因果LTI系统的稳定性与特征根 #
- 核心关系：因果LTI系统BIBO稳定 $\iff$ 特征方程的所有根都在单位圆内（即$|\lambda\_i| < 1$，$i=1,\dots,N$）。
- 物理意义：特征根在单位圆内时，齐次解$\lambda\_i^n$随$n$增大衰减至0（固有响应消失）；根在单位圆外时，齐次解发散，系统不稳定。
