传输线相关公式 #
输入阻抗： $Z_{in}(z) = Z_{c}\frac{Z_{L} + jZ_{c}\tan\beta z}{Z_{c} + jZ_{L}\tan\beta z}$
短路：
$$ Z_{in}(z) = jZ_{c}\tan \beta z $$开路：
$$ Z_{in}(z) = -jZ_{c}\cot \beta z $$负载反射系数：
$$ \Gamma_{L} = \frac{Z_{L} - Z_{c}}{Z_{L} + Z_{c}} = |\Gamma_{L}|e^{j\phi_{L}}\longrightarrow Z_{L} = Z_{c}\frac{1 + \Gamma_{L}}{1 - \Gamma_{L}} $$反射系数：
$$ \Gamma (z) = \frac{Z_{in}(z) - Z_{c}}{Z_{in}(z) + Z_{c}} = \Gamma_{L}e^{-2j\beta z}\longrightarrow Z_{in}(z) = Z_{c}\frac{1 + \Gamma(z)}{1 - \Gamma(z)} $$电压驻波比：
$$ \rho = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|} = \frac{1 + |\Gamma_{L}|}{1 - |\Gamma_{L}|} $$
行驻波状态下：
当 $2\beta z - \phi_{L} = 2n\pi$ 即 $z = \frac{\phi_L\lambda}{4\pi} +n\frac{\lambda}{2}$
电压振幅为最大值（波腹）： $\begin{array}{r}\left|U\right|_{\max} = \left|A_1\right|(1 + \left|\Gamma_L\right|)\\\ \left|I\right|_{\min} = \frac{\left|A_1\right|}{Z_c} (1 - \left|\Gamma_L\right|) \end{array}$
电流振幅为最小值（波节）；
当 $2\beta z - \phi_{L} = (2n + 1)\pi$ 即 $z = \frac{\phi_L\lambda}{4\pi} +(2n + 1)\frac{\lambda}{4}$
电压振幅为最小值（波节）： $\begin{array}{r}\left|U\right|_{\min} = \left|A_1\right|(1 - \left|\Gamma_L\right|)\\\ \left|I\right|_{\max} = \frac{\left|A_1\right|}{Z_c} (1 + \left|\Gamma_L\right|) \end{array}$
电流振幅为最大值（波腹）；
列题 #
【例1】一段传输线终端分别为开路和短路时，输入阻抗分别是 $Z_{op}$ 和 $Z_{sh}$ ，当终端接负载 $Z_{L}$ 时，输入阻抗为 $Z_{in}$ ，试证明： #
$$ Z_{L} = \frac{Z_{op}(Z_{sh} - Z_{in})}{Z_{in} - Z_{op}} $$ 参考公式： $Z_{in}(z) = jZ_{c}\tan \beta z$
$Z_{in}(z) = - jZ_{c}\cot \beta z$ $Z_{in}(z) = Z_{c}\frac{Z_{L} + jZ_{c}\tan\beta z}{Z_{c} + jZ_{L}\tan\beta z}$
解：设传输线段的长度为 $L$ ，特性阻抗为 $Z_{c}$ 当终端短路时，其输入阻抗为：
$$ Z_{sh} = jZ_{c}\tan (\beta L) $$当终端开路时，其输入阻抗为：
$$ Z_{op} = - jZ_{c}\cot (\beta L) $$当终端接负载 $Z_{L}$ 时，其输入阻抗为：
$$ \begin{array}{rl} & Z_{in} = Z_{c}\frac{Z_{L} + jZ_{c}\tan(\beta L)}{Z_{c} + jZ_{L}\tan(\beta L)}\\ & \quad = Z_{c}\frac{Z_{L} + Z_{sh}}{Z_{c} + Z_{L}Z_{sh} / Z_{c}}\\ & \quad = Z_{c}^{2}\frac{Z_{L} + Z_{sh}}{Z_{c}^{2} + Z_{L}Z_{sh}} \end{array} $$$Z_{sh} = jZ_{c}\tan (\beta L)\Rightarrow \tan (\beta L) = \frac{Z_{sh}}{jZ_{c}}$
$Z_{op}Z_{sh} = - jZ_{c}\cot (\beta L)\star jZ_{c}\tan (\beta L)$ $= Z_{c}^{2}$
整理后得：
$$ \begin{array}{r}Z_{L} = \frac{Z_{sh} - Z_{in}}{Z_{in}Z_{sh} / Z_{c}^{2} - 1} = \frac{Z_{sh} - Z_{in}}{Z_{in} / Z_{op} - 1}\\ = \frac{Z_{op}(Z_{sh} - Z_{in})}{Z_{in} - Z_{op}} \end{array} $$得证。
【例2】如下图所示，无耗传输线电路中源电动势 $E = 200\mathrm{V}$ ，工作波长 $\lambda = 100\mathrm{m}$ ，特性阻抗 $Z_{0} = 100\Omega$ ，负载 $Z_{1} = 50\Omega$ 、 $Z_{2} = 30 + \mathrm{j}10\Omega$ ， #
（1）试确定开路线（DF段）长度和阻抗变换器（CD段）的特性阻抗，使源达到匹配；
（2）求出BE段的电压驻波比，以及该段上电压和电流振幅的极值； （3）求BE和BCDF支路上的功率。
解：（1） $Z_{1}$ 变换到B处的阻抗为：
$$ Z_{B1} = \frac{Z_0^2}{Z_1} $$开路线（DF段）经长度变换后的导纳为：
$$ Y_{DF} = j\tan (\frac{2\pi L}{\lambda}) / Z_0 $$$Z_{in}(z) = - jZ_{c}\cot \beta z$
与 $Z_{2}$ 并联后，再经阻抗变换器（CD段）和BC段变换到B点的输入阻抗推导如下：
$$ \frac{1}{Z_D} = \frac{1}{Z_2} +Y_{DF}\Rightarrow Z_c = \frac{Z_{01}^2}{Z_D}\Rightarrow Z_{B2} = Z_c = Z_{01}^2 (\frac{1}{Z_2} +Y_{DF}) $$ZB1，ZB2并联后与源匹配得：
$\begin{array}{rcl}\frac{1}{Z_{B1}} +\frac{1}{Z_{B2}} = \frac{1}{Z_0} & \Rightarrow & \frac{Z_1}{Z_0^2} +\frac{1}{Z_{01}^2(Y_{DF} + \frac{1}{Z_2})} = \frac{1}{Z_0}\\\ \Rightarrow & Y_{DF} + \frac{1}{Z_2} = \frac{(Z_0 / Z_{01})^2}{Z_0 - Z_1} & \Rightarrow & Y_{DF}Z_2 + 1 = \frac{(Z_0 / Z_{01})^2}{Z_0 - Z_1} Z_2\\\ \Rightarrow & (30 + j10)j\tan (\frac{2\pi L}{\lambda}) / 100 + 1 = \frac{(100 / Z_{01})^2}{100 - 50} (30 + j10) \end{array}$
$\Rightarrow \left\\{ \begin{array}{l}1 - 10\tan (\frac{2\pi L}{\lambda}) / Z_0 = 30\frac{(Z_0 / Z_{01})^2}{Z_0 - Z_1}\\\ 30\tan (\frac{2\pi L}{\lambda}) / Z_0 = 10\frac{(Z_0 / Z_{01})^2}{Z_0 - Z_1} \end{array} \right.$ 实部相等 虚部相等
$\Rightarrow Z_{01} = \sqrt{\frac{2}{3}} Z_{0}, \tan (\frac{2\pi L}{\lambda}) = 1$ $\Rightarrow \frac{2\pi L}{\lambda} = \frac{\pi}{4}, L = \frac{\lambda}{8}$
即：
$$ Z_{01} = \sqrt{\frac{2}{3}} Z_{0}, L = \frac{\lambda}{8} $$时与源匹配。
(2) $\mathbf{Z}_1$ 产生的反射系数 $\Gamma_{L1} = \frac{Z_1 - Z_0}{Z_1 + Z_0} = \frac{50 - 100}{50 + 100} = -\frac{1}{3}$
此时电压驻波比 $\rho = \frac{1 + |\Gamma_{L1}|}{1 - |\Gamma_{L1}|} = \frac{1 + 1 / 3}{1 - 1 / 3} = 2$
在B点的输入电压幅度为 $\mathbf{U}_{\mathrm{B}} = \mathbf{E} / 2 = 100\mathbf{V}$ ，电压和电流振幅的极值满足以下关系：
$\begin{array}{rl} & {\left|U\right|_{\mathrm{max}} = \left|U_B\right|(1 + \left|T_{L1}\right|) = \frac{400}{3} V}\\\ & {\left|I\right|_{\mathrm{min}} = \frac{\left|U_B\right|}{Z_0} (1 - \left|T_{L1}\right|) = \frac{2}{3} A} \end{array}$ $\begin{array}{rl} & {\left|U\right|_{\mathrm{min}} = \left|U_B\right|(1 - \left|T_{L1}\right|) = \frac{200}{3} V}\\\ & {\left|I\right|_{\mathrm{max}} = \frac{\left|U_B\right|}{Z_0} (1 + \left|T_{L1}\right|) = \frac{4}{3} A} \end{array}$
(3) B点处的总功率为：
$$ P = \frac{1}{2}\frac{|U_B|^2}{Z_0} = \frac{|U_B|^2}{200} = 50W $$其中，BE支路的功率为：
$$ P_{1} = \frac{1}{2}\frac{|U_{B}|^{2}}{Z_{B_{1}}} = \frac{|U_{B}|^{2}}{400} = 25W $$则，BCDF支路的功率：
$$ P_{2} = P - P_{1} = 25W $$【例3】无耗传输线特性阻抗 $Z_{c} = 300\Omega$ ，终端接未知负载 $Z_{L}$ ，电压驻波比 $\rho = 2$ ，离负载 0.3λ 处为第一个电压最小点，求 #
（1）负载端的反射系数；（2）负载 $Z_{L}$ ；
解：（1）驻波比 $\rho = 2$ ，可得反射系数的模值为：
$$ \left|\Gamma \right| = \frac{\rho - 1}{\rho + 1} = \frac{2 - 1}{2 + 1} = \frac{1}{3} $$由于离负载 $0.3\lambda$ 处为第一个电压最小点，所以根据 $z = \frac{\phi_L\lambda}{4\pi} +(2n + 1)\frac{\lambda}{4}$ ，有
$$ z_{\min} = \frac{\phi_L\lambda}{4\pi} +\frac{\lambda}{4} = 0.3\lambda $$$$ \begin{array}{rl} & {\quad z_{\min} = \frac{\phi_L\lambda}{4\pi} +\frac{\lambda}{4} = 0.3\lambda}\\ & {\Rightarrow \phi_L = \frac{(0.3\lambda - \lambda / 4)}{\lambda / (4\pi)} = 0.2\pi = 36^\circ} \end{array} $$解得：
$$ \begin{array}{l}\Gamma = \left|\Gamma \right|e^{j\phi_L} = \frac{1}{3} e^{j0.2\pi}\\ \displaystyle = \frac{1}{3}\times \left(\cos 0.2\pi +j\sin 0.2\pi\right)\\ \displaystyle = 0.27 + j0.20 \end{array} $$所以，负载端的反射系数为：
(2) 因为 $\Gamma_L = \frac{Z_L - Z_c}{Z_L + Z_c}$ ，所以负载为 $Z_L = Z_c \frac{1 + \Gamma_L}{1 - \Gamma_L} = 464.57 + j209.45$
【例4】 无耗均匀传输线的特性阻抗 $Z_{C} = 75\Omega$ ，终端接负载阻抗 $Z_{L} = (100 - j50)\Omega$ ，求 #
解：（1）传输线负载反射系数为：
$$ \begin{array}{l}\Gamma_L = \left|\Gamma_L\right|e^{-j\phi_L} = \frac{Z_L - Z_C}{Z_L + Z_C} = \frac{25 - j50}{175 - j50}\\ = \frac{1 - 2j}{7 - 2j} = 0.31e^{-j47.49} \end{array} $$沿线的反射系数为：
$$ \Gamma = \Gamma_{L}e^{-j2\beta z} = \left|\Gamma_{L}\right|e^{j\phi_{L}}e^{-j2\beta z} = 0.31e^{j(-2\beta z - 47.49^{\circ})} $$即沿线的反射系数的模等于负载反射系数的模，但两者的幅角相差 $2\beta z$ 。
（2）由 $\phi_{L} = -47.49^{\circ}$ 可知，距负载第一个电压波节点的位置为：
$$ z_{\min} = \frac{\lambda}{4\pi}\phi_{L} + \frac{\lambda}{4} = 0.18\lambda $$Zmax=+n 4π 2 Zmin=+(2n+1)4π 4
距负载第一个电压波腹点的位置为：
$$ z_{\max} = z_{\min} + \frac{\lambda}{4} = 0.43\lambda $$【例5】无损耗传输线，特性阻抗 $Z_{C} = 100$ 欧姆，端接负载 $Z_{L} = 50$ 欧姆 #
（1）求驻波比 $\rho$ ；（2）求从最大电压处看向负载的输入阻抗；（3）求从最小电压处看向负载的输入阻抗。
解：（1）传输线上的驻波比为：
$$ \begin{array}{l}\Gamma_L = \frac{Z_L - Z_C}{Z_L + Z_C} = \frac{50 - 100}{50 + 100} = -\frac{1}{3} \\ \rho = \frac{1 + |\Gamma_L|}{1 - |\Gamma_L|} = \frac{1 + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = 2 \end{array} $$（2）最大电压处为电压波腹点，该点处看向负载的输入阻抗为
$$ Z_{in} = \frac{U_{\mathrm{max}}}{I_{\mathrm{min}}} = Z_{C}\rho = 100\times 2 = 200\Omega $$（3）最小电压处为电压波节点，该点处看向负载的输入阻抗为
$$ Z_{in} = \frac{U_{\mathrm{min}}}{I_{\mathrm{max}}} = \frac{Z_{C}}{\rho} = \frac{100}{2} = 50\Omega $$【例6】设有一无耗传输线，其特性阻抗为 $Z_{C}$ ，当其终端接有一负载时，测得线上的驻波比为 $\rho$ ，由负载到第一电压波节点距离为 $l_{min}$ 。试证明该负载阻抗可由下式计算 #
$$ Z_{L} = Z_{C}\frac{\rho - j(\rho^{2} - 1)\sin\phi\cos\phi}{\rho^{2}\cos^{2}\phi + \sin^{2}\phi}\qquad (\phi = \beta l_{\min}) $$解：传输线上的驻波比为 $\rho$ ，所以有负载反射系数的模值：
$$ \rho = \frac{1 + |\Gamma_L|}{1 - |\Gamma_L|}\Rightarrow |\Gamma_L| = \frac{\rho - 1}{\rho + 1} $$又负载反射系数的相位：
$$ z_{\min} = l_{\min} = \frac{\lambda}{4\pi}\phi_{L} + \frac{\lambda}{4}\Rightarrow \phi_{L} = \left(l_{\min} - \frac{\lambda}{4}\right)\frac{4\pi}{\lambda} = 2\beta l_{\min} - \pi $$则有：
$$ \begin{array}{rl} & {\Gamma_L = \frac{\rho - 1}{\rho + 1} e^{j(2\beta l_{\mathrm{min}} - \pi)} = -\frac{\rho - 1}{\rho + 1} e^{j2\beta l_{\mathrm{min}}}}\\ & {\quad = -\frac{\rho - 1}{\rho + 1} e^{j2\phi}} \end{array} $$所以：
$$ \begin{array}{rl} & {Z_L = Z_C\frac{1 + \Gamma_L}{1 - \Gamma_L} = Z_C\frac{1 - \frac{\rho - 1}{\rho + 1}e^{j2\phi}}{1 + \frac{\rho - 1}{\rho + 1}e^{j2\phi}} = Z_C\frac{(\rho + 1)e^{-j\phi} - (\rho - 1)e^{j\phi}}{(\rho + 1)e^{-j\phi} + (\rho - 1)e^{j\phi}}}\\ & {= Z_C\frac{\cos\phi - j\rho\sin\phi}{\rho\cos\phi - j\sin\phi} = Z_C\frac{(\cos\phi - j\rho\sin\phi)(\rho\cos\phi + j\sin\phi)}{\rho^2\cos^2\phi + \sin^2\phi}}\\ & {= Z_C\frac{\rho - j(\rho^2 - 1)\sin\phi\cos\phi}{\rho^2\cos^2\phi + \sin^2\phi}} \end{array} $$