射频电路6 传输线一般理论

电磁波的形成: 时变的电场/磁场可在空间形成电磁波。
导行波: 电磁波可沿着导体或介质表面传播，形成导行波。
传输线的作用: 传输线是引导电磁波传输的装置。
严格分析基础: 因此，传输线的严格分析应基于 Maxwell 方程组。
- 微分形式：
  - $\nabla \times \vec{H} = \vec{J} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$
  - $\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$
  - $\nabla \cdot \vec{B} = 0$
  - $\nabla \cdot \vec{D} = \rho$
- 积分形式：
  - $\oint_c \vec{H} \cdot d\vec{l} = \int_s (\vec{J} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}) \cdot d\vec{S}$
  - $\oint_c \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\int_s \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d\vec{S}$
  - $\oint_s \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0$
  - $\oint_s \vec{D} \cdot d\vec{S} = q$

🌊 6.2 传输线的一般传输特性
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📊 6.2.1 由纵向场分量表示横向场分量
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一般性假设: 传输线传播行波，各场分量可表示为：
- $\vec{E} = \vec{e}(x, y)e^{-\gamma z} = E_x \hat{a}_x + E_y \hat{a}_y + E_z \hat{a}_z$
- $\vec{H} = \vec{h}(x, y)e^{-\gamma z} = H_x \hat{a}_x + H_y \hat{a}_y + H_z \hat{a}_z$
Maxwell 方程的展开:
- $\nabla \times \vec{E} = -j\omega\mu\vec{H}$
- $\nabla \times \vec{H} = j\omega\varepsilon\vec{E}$
横向场分量与纵向场分量的关系:
- $E_x = -\frac{1}{k_c^2}(j\omega\mu\frac{\partial H_z}{\partial y} + \gamma\frac{\partial E_z}{\partial x})$
- $E_y = -\frac{1}{k_c^2}(j\omega\mu\frac{\partial H_z}{\partial x} - \gamma\frac{\partial E_z}{\partial y})$
- $H_x = -\frac{1}{k_c^2}(\gamma\frac{\partial H_z}{\partial x} - j\omega\varepsilon\frac{\partial E_z}{\partial y})$
- $H_y = -\frac{1}{k_c^2}(\gamma\frac{\partial H_z}{\partial y} + j\omega\varepsilon\frac{\partial E_z}{\partial x})$
关键参数:
- $k$: 总波数
- $\gamma$: 线上的传播常数 (纵向)
- $k_c$: 截止波数 (横向)
- 关系式: $k_c^2 = k^2 + \gamma^2 = k^2 + (j\beta)^2 \Rightarrow k_c^2 + k_\beta^2 = k^2$
结论: 利用纵向场分量 $E_z$ 和 $H_z$ 即可得出横向场分量。
纵向场分量满足的波动方程:
- $\nabla_t^2 E_z + k_c^2 E_z = 0$
- $\nabla_t^2 H_z + k_c^2 H_z = 0$
行波状态下的纵向场分量:
- $E_z = e_z(x, y)e^{-\gamma z}$
- $H_z = h_z(x, y)e^{-\gamma z}$
横向场分量满足的波动方程 (适用于行波状态):
- $\nabla_t^2 e_z^r + k_c^2 e_z^r = 0$
- $\nabla_t^2 h_z^r + k_c^2 h_z^r = 0$

〰️ 6.2.2 传输波型 (Wave Types)
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传输线中的波型按纵向场分量可分为三种类型：

TEM波 (Transverse Electromagnetic Waves) ⚡️
- 特征: $E_z = H_z = 0$ (无纵向场分量)。
- 存在条件: 只有当 $k_c = 0$ 时存在非零解，否则所有横向场量也为零。
- 传播常数: $k_c^2 = k^2 + \gamma^2 = 0 \Rightarrow \gamma^2 = -k^2$
- 无耗传输线: $\gamma = j\beta$, $\beta = k$
- 横向场分量方程: $\nabla_t^2 \vec{e}_t = 0$, $\nabla_t^2 \vec{h}_t = 0$
- 与静态场的关系: TEM波的横向场与静态场满足相同的方程 (拉普拉斯方程)。
- 电压与电流定义: 可采用静态场中的方法定义电压和电流。
  - 电压 $U_{12} = \phi_1 - \phi_2 = \int_1^2 \vec{E} \cdot d\vec{l}$
  - 电流 $I = \oint_c \vec{H} \cdot d\vec{l}$
- 推论: TEM波只能存在于 多导体系统，不能存在于单导体系统中。
  - 原因：单导体系统中不可能存在异性静电荷或恒定电流，因此无法存在与静态场类似的TEM波型电磁场。
TE波 (Transverse Electric Waves) ⚡️
- 特征: $E_z = 0$, $H_z \ne 0$ (无纵向电场分量)。
- 此时，横向场分量表达式简化为：
  - $E_x = -\frac{j\omega\mu}{k_c^2}\frac{\partial H_z}{\partial y}$
  - $E_y = \frac{j\omega\mu}{k_c^2}\frac{\partial H_z}{\partial x}$
  - $H_x = \frac{\gamma}{k_c^2}\frac{\partial H_z}{\partial x}$
  - $H_y = \frac{\gamma}{k_c^2}\frac{\partial H_z}{\partial y}$
TM波 (Transverse Magnetic Waves) 🧲
- 特征: $E_z \ne 0$, $H_z = 0$ (无纵向磁场分量)。
- 此时，横向场分量表达式简化为：
  - $E_x = \frac{\gamma}{k_c^2}\frac{\partial E_z}{\partial x}$
  - $E_y = \frac{\gamma}{k_c^2}\frac{\partial E_z}{\partial y}$
  - $H_x = \frac{j\omega\varepsilon}{k_c^2}\frac{\partial E_z}{\partial y}$
  - $H_y = -\frac{j\omega\varepsilon}{k_c^2}\frac{\partial E_z}{\partial x}$

🛑 6.2.3 截止波数与截止波长
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传播常数与截止波数的关系: $\gamma = \sqrt{k^2 - k_c^2} = \sqrt{\omega^2 \mu \varepsilon - k_c^2}$
- 如果 $k^2 < k_c^2$ (即 $\omega^2 \mu \varepsilon < k_c^2$)，那么 $\gamma^2 > 0$, $\gamma = \alpha$ (实数)，波截止。
- 如果 $k^2 > k_c^2$ (即 $\omega^2 \mu \varepsilon > k_c^2$)，那么 $\gamma^2 < 0$, $\gamma = j\beta$ (虚数)，波传播。
截止时: 场随距离呈指数衰减，不能传播。
截止波数 ($k_c$): 成为波是传输还是截止的界线。
- $k_c = \frac{2\pi}{\lambda_c} = \frac{2\pi f_c}{v_p}$
截止频率 ($f_c$): 由截止波数决定。
- $f_c = \frac{k_c v_p}{2\pi} = \frac{k_c}{2\pi \sqrt{\mu\varepsilon}}$
截止波长 ($\lambda_c$): 相应的波长。
- $\lambda_c = \frac{v_p}{f_c} = \frac{2\pi}{k_c}$
TEM波的特点:
- $f_c = 0, \lambda_c = \infty$。
- TEM波不存在截止现象。
TE和TM波的特点:
- 只有在 $f > f_c$ (或 $\lambda < \lambda_c$) 时才能传播。
- 类似于高通滤波的功能。

⚙️ 6.2.4 几个概念和参数
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核心思想: 传输线上的电磁能量可视为沿着传输线传播的电磁波，因此概念和参数与电磁波理论相同。
相速度 ($v_p$) 💨: 等相位面沿传输线纵向移动的速度。
- $v_p = \frac{\omega}{\beta}$
群速度 ($v_g$) 🚀: 多个频率组成的波群 (信号) 的速度。
- $v_g = \frac{d\omega}{d\beta}$
色散: 相速随着频率的变化而改变的特性。
- TE, TM波: 为色散波。
  - $\beta = \sqrt{k^2 - k_c^2} = \sqrt{(\frac{2\pi}{\lambda})^2 - (\frac{2\pi}{\lambda_c})^2} = \frac{2\pi}{\lambda}\sqrt{1 - (\frac{\lambda}{\lambda_c})^2}$
  - $v_p = \frac{\omega}{\beta} = \frac{c}{\sqrt{1 - (\lambda/\lambda_c)^2}}$ (相速与波长有关)
- TEM波: 为非色散波。
导波波长 ($\lambda_g$): 波在传输线上沿纵向的两相邻等相位面之间的距离，或等相面在一个周期内传播的距离。
波阻抗 ($Z_W$) ⚡️: 横向电场与横向磁场之比。
- $Z_W = \frac{E_t}{H_t}$
- 对于TEM波: $Z_{WTEM} = \frac{E_x}{H_y} = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} = \eta$
  - 空气介质中: 等于自由空间波阻抗 $\eta_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} = 120\pi \approx 376.7\Omega$
传输损耗 ($P(z) = P_0 e^{-\alpha z}$) 📉:
- 组成: 一般由两类损耗决定：
  - 导体损耗 ($\alpha_c$)
  - 介质损耗 ($\alpha_d$)
- 总损耗: $\alpha = \alpha_c + \alpha_d$
- 单位: Np/m (奈培/米)